4.3
Diferensiasi
Teorema 4.3.1.
Jika $f$ suatu fungsi konstan, misal $f(x)=k$ untuk sebarang bilangan
real $k$, maka $$\frac{d}{dx}[k]=0$$
Teorema 4.3.2.
Jika $n$ adalah suatu bilangan bulat positif, maka
$$\frac{d}{dx}[x^n]=nx^{n-1}$$
Teorema 4.3.3.
Jika $f$ fungsi yang dapat diturunkan di $x$ dan $k$ adalah sebarang
bilangan real, maka $kf$ juga dapat diturunkan di $x$, yaitu
$$\frac{d}{dx}[kf(x)]=k\frac{d}{dx}[f(x)]$$
Teorema 4.3.4.
Jika $f$ dan $g$ fungsi yang dapat diturunkan di $x$, maka $(f+g)$ dan
$(f-g)$ juga dapat diturunkan di $x$, yaitu \begin{align}
\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))&=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x) \notag\\
\frac{d}{dx}(f(x)-g(x))&=\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x) \notag
\end{align}
Teorema 4.3.5.
Jika $f$ dan $g$ dapat diturunkan di $x$, maka demikian juga $f.g$,
dan
$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f(x)\frac{d}{dx}g(x)+g(x)\frac{d}{dx}f(x)$$
Teorema 4.3.6.
Jika $f$ dan $g$ fungsi yang dapat diturunkan di $x$, dan $g(x)\neq
0$, maka $f/g$ juga dapat diturunkan di $x$, dengan
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{g(x)\frac{d}{dx}f(x)-f(x)\frac{d}{dx}g(x)}{[g(x)]^2}$$
Contoh 1
Dapatkan $dy/dx$. $$y=\frac{x^3-3x}{4}$$
Pembahasan
begin{align*}
\frac{dy}{dx}&=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^3-3x}{4}\right) \\ &=
\frac{1}{4}\frac{d}{dx}(x^3-3x)\\ &=
\frac{1}{4}\left[\frac{d}{dx}(x^3)-\frac{d}{dx}(3x)\right] \\ &=
\frac{1}{4}(3x^2-3) \\ \frac{dy}{dx}&= \frac{3}{4}(x^2-1)
\end{align*}
Contoh 2
Dapatkan $dy/dt$. $$y=(2t-3)(3t^2-2t)$$
Pembahasan
Cara I:
Misalkan $f(t)=2t-3$ dan $g(t)=3t^2-2t$ sehingga \begin{align*} \frac{d}{dt}(f(t))=\frac{d}{dt}(2t-3)=2\frac{d}{dt}(t)-\frac{d}{dt}(3)=2-0=2,\quad \text{dan} \\ \frac{d}{dt}(g(t))=\frac{d}{dt}(3t^2-2t)=3\frac{d}{dt}(t^2)-2\frac{d}{dt}(t)=6t-2. \end{align*} Dengan demikian, diperoleh $\frac{dy}{dt}$, yaitu: \begin{align*} \frac{dy}{dt}&=\frac{d}{dt}(f(t)g(t)) \\ &=f(t)\frac{d}{dt}g(t)+g(t)\frac{d}{dt}f(t) \\ &=(2t-3)(6t-2)+(3t^2-2t)2\\ &=12t^2-4t-18t+6+6t^2-4t\\ \frac{dy}{dt}&=18t^2-26t+6. \end{align*} Cara II:
\begin{align*} \frac{dy}{dt}&=\frac{d}{dt}[(2t-3)(3t^2-2t)] \\ &= \frac{d}{dt}(6t^3-13t^2+6t) \\ &= 6\frac{d}{dt}(t^3)-13\frac{d}{dt}(t^2)+6\frac{d}{dt}(t)\\ &=6(3t^2)-13(2t)+6\\ \frac{dy}{dt}&=18t^2-26t+6 \end{align*}
Misalkan $f(t)=2t-3$ dan $g(t)=3t^2-2t$ sehingga \begin{align*} \frac{d}{dt}(f(t))=\frac{d}{dt}(2t-3)=2\frac{d}{dt}(t)-\frac{d}{dt}(3)=2-0=2,\quad \text{dan} \\ \frac{d}{dt}(g(t))=\frac{d}{dt}(3t^2-2t)=3\frac{d}{dt}(t^2)-2\frac{d}{dt}(t)=6t-2. \end{align*} Dengan demikian, diperoleh $\frac{dy}{dt}$, yaitu: \begin{align*} \frac{dy}{dt}&=\frac{d}{dt}(f(t)g(t)) \\ &=f(t)\frac{d}{dt}g(t)+g(t)\frac{d}{dt}f(t) \\ &=(2t-3)(6t-2)+(3t^2-2t)2\\ &=12t^2-4t-18t+6+6t^2-4t\\ \frac{dy}{dt}&=18t^2-26t+6. \end{align*} Cara II:
\begin{align*} \frac{dy}{dt}&=\frac{d}{dt}[(2t-3)(3t^2-2t)] \\ &= \frac{d}{dt}(6t^3-13t^2+6t) \\ &= 6\frac{d}{dt}(t^3)-13\frac{d}{dt}(t^2)+6\frac{d}{dt}(t)\\ &=6(3t^2)-13(2t)+6\\ \frac{dy}{dt}&=18t^2-26t+6 \end{align*}
Contoh 3
Jika diberikan $f(t)=t-5$ dan $g(t)=t-1$, maka dapatkan
$\frac{d}{dt}\left[\frac{f(t)}{g(t)}\right]$
Pembahasan
Perhatikan bahwa $f(t)=t-5$ dan $g(t)=t-1$ sehingga \begin{align*}
\frac{d}{dt}(f(t))=\frac{d}{dt}(t-5)=\frac{d}{dt}(t)-\frac{d}{dt}(5)=1-0=1,\quad\text{dan}\\
\frac{d}{dt}(g(t))=\frac{d}{dt}(t-1)=\frac{d}{dt}(t)-\frac{d}{dt}(1)=1-0=1.
\end{align*} Dengan demikian, diperoleh bahwa \begin{align*}
\frac{d}{dt}\left[\frac{f(t)}{g(t)}\right]&=\frac{g(t)\frac{d}{dt}f(t)-f(t)\frac{d}{dt}g(t)}{[g(t)]^2}\\
&=\frac{(t-1)(1)-(t-5)(1)}{(t-1)^2}\\ &=\frac{t-1-t+5}{(t-1)^2}\\
\frac{d}{dt}\left[\frac{f(t)}{g(t)}\right]&= \frac{4}{(t-1)^2}.
\end{align*}
Latihan!
EAS 2023/2024
Diberikan fungsi $\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x+2}$. Dapatkan
$f'(x)$.
Jawab:
ETS 2023/2024
Dapatkan $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ dari $\displaystyle
x^2-y+\frac{y}{x}=5$.
Jawab:
ETS 2024/2025
Diberikan kurva dalam fungsi implisit $xy+x+y+4=0$. Dapatkan
$\displaystyle \frac{dy}{dx}$.
Jawab: